ご返信いただきありがとうございます。
本文の通り対応しましたが、エラー箇所が見つけられません。

データベースのpostmeta内には保存されていないようでした。

/*===================================
カスタムフィールド
======================================*/
/*投稿ページへ表示するカスタムボックスを定義する*/
add_action('admin_menu', 'add_custom_inputbox');
/*追加した表示項目のデータ更新　保存のためのアクションフック*/
add_action('save-post', 'save_custom_postdata');

/*入力項目がどの投稿タイプのページに表示されるかの設定*/
function add_custom_inputbox() {
//第一引数：編集画面のhtmlに挿入されるid属性名
//第二引数：管理画面に表示されるカスタムフィールド名
//第三引数：メタボックス内に出力される関数名
//第四引数：管理画面に表示されるカスタムフィールドの場所（postなら投稿、pageなら固定ページ）
//第五引数：配置される順序
add_meta_box( 'about_id','ABOUT入力欄', 'custom_area', 'page', 'normal');
}

/*管理画面に表示される内容*/
function custom_area(){
global $post;

echo 'コメント :<textarea cols="50" rows="5" name="about_msg">'.get_post_meta($post->ID,'about',true).'</textarea><br>';
}

/*投稿ボタンを押した際のデータ更新と保存*/
function save_custom_postdata($post_id){

$about_msg = '';

//カスタムフィールドに入力された情報を取り出す
if(isset($_POST['about_msg'])){
$about_msg = $_POST['about_msg'];
}

//内容が変わっていた場合、保存していた情報を更新する
if( $about_msg != get_post_meta($post_id, 'about', true)){
update_post_meta($post_id, 'about',$about_msg);
}
elseif ($about_msg == '') {
delete_post_meta($post_id, 'about',get_post_meta($post_id,'about',true));
}
}

コードの入力を間違えておりました。解決しました。
ご迷惑をおかけしました。